کوهمولوژی گروههای توپولوژیک با ضرایب ناآبلی

در این پایان نامه، کوهمولوژی‎ گروههای توپولوژیک با ضرایب ناآبلی را تعریف می کنیم. ‎‎‎هرگاه ضرایب آبلی باشند‏، این تعریف با کوهمولوژی آبلی گروههای توپولوژیک ‎‎‎ منطبق است. با استفاده از مفهوم دومدولهای توپولوژیک متقاطع جزیی یک تعریف جدید از اولین کوهمولوژی ناآبلی گروههای توپولوژیک به دست می آوریم. با معرفی مفهوم هسته سادکی پروژکتیو استاندارد از یک گروه توپولوژیک‏، دومین کوهمولوژی ناآبلی گروههای توپولوژیک را تعریف می کنیم. گیریم ‎$‎‎‎a‎$‎ یک ‎$‎‎‎g‎$‎‎-مدول توپولوژیک و ‎$‎‎‎(a,mu)‎$‎ یک ‎$‎‎‎g-r‎$‎‎-دومدول توپولوژیک متقاطع جزیی است. ‎برخی‎‎ از مهم‎‎ ترین نتایج به دست آمده به قرار زیر هستند: ‎egin{itemize}‎‎ item[(‎1)] ‎‎ دومین کوهمولوژی از یک گروه توپولوژیک پروژکتیو‏، ‎‎بدیهی است. در واقع‏، این گزاره تعمیم یک قضیه از هو (‎hu‎) است. ‎item[(2)]‎ دومین کوهمولوژی نا‎آبلی‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‏، ‎‎‎$‎‎‎h^{2}(g,a)‎$‎‎‏،‎‎‎ از ‎$‎‎‎g‎$‎ باضرایب در ‎$‎‎‎a‎$‎‎‏، یک گروه‎‎ خارج قسمتی ‎‎از دومین کوهمولوژی آبلی ‎‎‎$‎‎‎h^{2}(g,z(a))‎‎‎$‎‏‎‎‎ است. ‎item[(3)]‎ تناظری یک به یک بین دومین کوهمولوژی‏، ‎$‎‎‎h^{2}(‎g‎,(a,mu))‎$‎‎‏، از ‎$‎‎‎g‎$‎ با ضرایب در ‎$‎‎‎(a,mu)‎$‎ و مجموعه ‎$‎‎‎ext_{s}(g,(a,mu))‎$‎‎‏، از همه رده های هم ‎ارزی توسیع های ‎$‎‎‎g‎$‎ با ‎$‎‎‎(a,mu)‎$‎ وجود دارد. ‎‎ ‎item[‎(4)]‎ اگر‎‎‎ ‎$‎‎‎g‎$‎ یک گروه فشرده موضعی باشد‏، آن گاه برای هر ‎$‎‎‎g‎$‎‎-مدول توپولوژیک آبلی ‎$‎‎‎a‎$‎‎‏، عمل ‎$‎‎‎g‎$‎ روی ‎$‎‎‎h^{n}(g,a)‎$‎ بدیهی است. به ویژه‏، عمل ‎$‎‎‎g‎$‎ روی ‎$‎‎‎h^{2}(g,a)‎$‎ نیز برای هر ‎$‎‎‎g‎$‎‎-مدول توپولوژیک بدیهی است. ‎‎ item[(5)]‎ گیریم ‎ ‎‎$‎‎‎g‎$‎‎ یک گروه توپولوژیک با مولفه همبند باز است.‎‎ ‎آن گاه ‎ ‎‎$‎‎‎g‎$‎ همبند است اگر وتنها اگر ‎‎در ‎‎‎$‎‎‎_{g}mathcal{d}‎$‎‎‏، ‎$‎‎‎h^{1}(g,-)=0‎$‎. ‎‎ ‎item[(6)]‎ ‎گیریم ‎ ‎‎$‎‎‎g‎$‎‎ یک گروه توپولوژیک با مولفه همبند باز است. ‎‎آن گاه ‎ یک‎ گروه آزاد ‎$‎‎‎f‎$‎ با توپولوژی گسسته چنان هست که ‎$‎‎‎g‎simeq ‎g_{0} times ‎f‎$‎‎ اگر و تنها اگر در ‎$‎‎‎_{g}mathcal{d}‎$‎‎‏، ‎$‎‎‎h^{2}(g,-)=0‎$‎.